Fungsi Derivatif atau Turunan Matematika

Derivatif (Turunan)

Turunan mengukur tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi yaitu perubahan dependent variable sebagai akibat perubahan dari independent variable yang sangat kecil.

Kaidah :

1.     fungsi konstan

Y = k maka dy/dx = 0

2.     fungsi linear

Y = a + bx maka dy/dx = b

3.     fungsi pangkat

Y = ax^p maka dy/dx = p.ax ^{p – 1}

Y = x^p maka dy/dx = p.x ^{p – 1}

Penerapan dalam ekonomi

1.     konsep marginal

biaya marginal (marginal cost) adalah perubahan dalam biaya total sebagai akibat bertambahnya 1 unit produksi. Pendapatan marinal (marginal revenue) adalah perubahan dalam pendapatan total (total revenue) sebagai akibat bertambahnya 1 unit penjualan

2.     maximasi dan minimasi suatu fungsi

terdapat 2 syarat untuk memperoleh nilai max relative dari suatu fungsi yaitu

turunan  I = 0

turunan II < 0

sedangkan untuk memperoleh nilai min relative, syaratnya

turunan  I = 0

turunan II > 0

contoh

diketahui fungsi permintaan f(D) = P = 80 – 4Q, hitunglah
a. marginal revenue (MR)

b. R max

jawab

R= P x Q

   = (80 – 4Q) x Q

   = 80Q – 4Q²

a.     MR = R’

       = 80 – 8Q

b.     R maks, pada saat MR = 0

80 – 8Q = 0

Q = 10

R max = 80 (10) – 4 (10)²

           = 800 – 400

           = 400

c.      AR  = R/Q

        = 80Q – 4Q² / Q

        = 80 – 4Q

        =80 – 4(10)

        = 80 – 40

        = 40

Diketahui fungsi biaya total C = Q³ – 7Q² + 23Q, hitunglah

a.     marginal cost (MC)

b.     biaya rata-rata (AC)

c.      biaya rata-rata minimum

a.     MC = C’

        = 3Q² – 14Q + 23

b.     AC = C/Q

      = Q³ – 7Q² + 23Q / Q

      = Q² – 7Q + 23

AC minimum = AC’ = 0

2Q – 7 = 0

        Q = 3,5

c.      AC = (3,5)² – 7(3,5) + 23

       = 12,25 – 24,5 + 23

       = 10,75

Pada saat AC minimum, MC = AC

MC = 3(3,5)² – 14(3,5) + 23

       = 36,75 – 49 + 23

       = 10,75

Keuntungan maksimum

Diketahui R = 2Q³ + Q² + 5Q, C = 25Q² – 67Q + 5, hitunglah

a.     unit produksi agar laba maks

b.     berapa laba maks

jawab

a.     п = R – C

(2Q³ + Q² + 5Q) – (25Q² – 67Q + 5)

2Q³ – 24Q² + 72Q – 5

П maks = п’ = 0

6Q² – 48Q + 72 = 0

Q² – 8Q + 12 = 0

(Q – 2) (Q – 6) = 0    Q1 = 2, Q2 = 6

Jika п “ > 0 maka rugi maks

       П” < 0 maka laba maks

П” = 12Q – 48

Q1 = 2        12(2) – 48 = -24 п” < 0 (laba maks)

Q2 = 6        12(6) – 48 = 24 п” > 0 (rugi maks)

b.     laba maks = 2Q³ – 24Q² + 72Q – 5

       = 2(2³) – 24(2²) + 72(2) – 5

       = 16 – 96 + 144 – 5

       = 59

Elastisitas

Untuk mengukur kepekaan (sensitivitas) perubahan independent variable terhadap dependent variable digunakan angka elastisitas

1.     elastisitas permintaan (Ed)

a.     permintaan elastis jika η < -1 atau η > 1

b.     permintaan elastis sempurna jika η = -ζ

c.      permintaan elastis uniter η = 1 atau η = -1

d.     permintaan inelastic jika -1 < η < 1

e.      permintaan inelastic esmpurna jika η = 0

Ed = dQ/dP x P/Q, dimana dQ/dP adalah turunan pertama Qd

Contoh

Diketahui f(D) Q = 250 – 5P

Jika P = 10 maka elastisitas harga permintaan (Ed) dapat dicari

Q = 250 – 5P            Q = 250 – 5(10)

P = 10                           = 250 – 50

                                      = 200 unit

dQ / dP = Q’ (P) = -5

Ed = dQ / dP x P/Q = -5 x 10/200 = -0,25

Artinya jika P naik 1% maka Q turun 0,25% atau jika P turun 1% maka Q akan naik 0,25%

2.     elastisitas penawaran (Es)

Es = dQ/dP x P/Q

Contoh

Diketahui f(S) Q = 250 + 5P

Jika P = 10 maka Es

Q = 250 + 5P       Q = 250 + 5(10)

P = 10                      = 250 + 50 = 300 unit

dQ/dP = Q’(P) = 5

Es = dQ/dP x P/Q  = 5 x 10/300 = 0,16

Jika P naik 1% maka Q naik 0,16% atau jika P turun 1% maka Q akan turun 0,16%

Pajak maksimum

Diketahui fungsi permintaan (Qd) P = -1/2Q + 40, fungsi penawaran (Qs) = 1/2Q + 10, berapa pajak maks yang diterima pemerintah bila pajaknya Rp t perunit.

Jawab

a.     keseimbangan sebelum pajak

  Qd = Qs

-1/2Q + 40 = ½ Q + 10

              -Q = -30

                Q = 30

P = 1/2Q + 10

   = ½ (30) + 10 = 25

b.     keseimbangan setelah pajak

-1/2Q + 40 = 1/2Q + 10 + t

               t  = (-1/2Q + 40) – (1/2Q +10)

                  = -Q + 30

Pajak total (T) = t x Q

                        = (-Q + 30) x Q

                       = -Q² + 30 Q

Pajak maks atau min jika T’ = 0

                             -2Q + 30 = 0

                                      Q  = 15

T ” = -2, maks pada Q = 15

Maka P = -1/2 (15) + 40

              = -7,5 + 40

              = 32,5

Jadi keseimbangan setelah pajak (15, 32,5)

Besarnya pajak / unit  t = -Q + 30

                                      = -(15) + 30

                                      = 15

Total pajak maks (T)    = -Q² + 30Q

                                      = -(15²) + 30 (15)

                                      = -225 + 450

                                      = 225

Atau t x Qt = 15 x 15

                   = 225