DERET
Yaitu rangkaian bilangan yang disusun
secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu.
Suku adalah bilangan pembentuk deret
Dilihat dari
segi perubahan pola bilangan, deret dibedakan :
1. Deret hitung
2. Deret ukur
v Deret Hitung
Yaitu deret yang perubahan sukunya
berdasar penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang
membedakan suku disebut pembeda.
Contoh : 1,5,9,13
Suku ke-n
Sn
: a + ( n – 1 ) b
a
: suku pertama
b
: pembeda
n
: indeks suku
contoh
4,10,16,22,28
Tentukan nilai
suku ke 15 dan 30
S15 : 4 + ( 15 – 1 ) 6 S30 : 4 + (
30 – 1 ) 6
: 4 + 84 : 4 + 174
: 88 : 178
Jumlah n suku
Rumus : n Jn
: n { 2a + ( n – 1 ) b }
Σ Si 2
i=1
Jn : n { ( a + Sn ) Jn : n.a
+ n { n – 1 ) b
2 2
Dari
contoh di atas tentukan jumlah J15 dan J30
J15 : 15/2 ( 4 + 88 ) J30
: 30/2 ( 4 + 178)
: 7,5. (92) : 15
(182)
: 690 : 2730
Atau
J15 : 15.4 + 15/2 ( 15 – 1
) 6 J30 : 30.4 +
30/2 ( 30 – 1 ) 6
: 60 + 7,5 ( 84 ) : 120 + 15 ( 174 )
: 690 : 2730
v Deret Ukur
Yaitu deret yang perubahan sukunya
berdasar perkalian bilangan tertentu
Bilangan yang membedakan suku-sukunya
disebut pengganda
Contoh : 2,4,8,16,32
Suku ke-n
Sn
: a.p n – 1
Dimana
a : suku pertama
p : pengganda
n : indeks suku
contoh
2,4,8,16,32
Tentukan suku ke
10 dan ke 15
S10 : 2.210 – 1 S15
:
2.215 – 1
: 2.512 : 2.16384
: 1024 : 32768
Jumlah n suku
Rumus :
Jn : a ( 1
– Pn ) Jika P < 1
1 – P
Jn : a ( Pn – 1 ) Jika P > 1
P – 1
Contoh :
Dari contoh diatas tentukan
jumlah suku ke 10 dan 15
J10
: 2 ( 210 – 1 ) J15 : 2 ( 215
– 1 )
2 –
1
2 – 1
: 2 (1024 – 1 ) : 2 ( 32768 – 1 )
1
1
: 2046 : 65534
768, 384, 192, 96, 48, 24, 12
Tentukan jumlah suku ke 10
J10
: 768 ( 1 – 1/210 )
1 – ½
: 768 (0,999)
½
: 1534,5
Suku ke 3 suatu deret ukur adalah 800, suku ke 7 adalah
204800. carilah besarnya nilai a dan p
S3 : a. p 3 – 1 S7 : a.p 7 – 1
800 : a.p2 204800 : a.p6
a :
800 a :
204800
p2
p6
a :
800
: 204800
p2 p6
800 p6 :
204800 p2
P6 :
204800
P2 800
P
6 – 2 : 256
P4 :
44
P
: 4
800 : a.p2
a : 800/16
: 50
Penerapan dalam ekonomi
1. Sebuah penerbitan
majalah berita, pada tahun ke 5 memproduksi 30.000 eksemplar, namun produksinya
secara konstan terus menurun sehingga pada tahun ke 15 hanya memproduksi 10.000
eksemplar. Dari informasi tsb. Tentukan : a.
berapa penurunan produksi majalah pertahun
b. berapa eksemplar majalah yang
diterbitkan selama
operasi
perusahaan
a. Sn : a + ( n – 1 )b
S5 : a + 4b S15
: a + 14b
: 30.000 : 10.000
a + 4b
: 30.000
a + 14b
: 10.000 -
- 10 b
: 20.000
b
: - 2.000
a + 4b
: 30.000 a + 4(-2000) : 30.000
a
– 8000 : 30.000
a
: 38.000
b. Jn :
n.a + n { n – 1 ) b
2
J15 : 15 (38.000) + 15/2 (14) .
(-2000)
: 570.000 + 7,5 (-28.000)
: 570.000 – 210.000
: 360.000
2. Bunga Majemuk
Dengan bunga majemuk ini, tingkat
bunga yang harus dibayar selain dikenakan pada pokok pinjaman juga dikenakan
pada bunga yang dihasilkan pada periode yang bersangkutan.
Rumus :
Pn : P ( 1 + i )n
Dimana :
Pn : nilai uang dimasa
yang akan datang pada tahun ke n
P
: nilai uang sekarang
i
: tingkat bunga per tahun
(1 + i) : faktor bunga majemuk
Contoh
Apabila anda memiliki uang sebesar
Rp. 1.000.0000 dibungakan di bank selama 5 tahun, dengan tingkat bunga sebesar
10% per tahun. Tentukan
a. nilai uang pada akhir tahun ke 5
b. nilai uang pada akhir tahun ke 5
apabila bunga dibayarkan setiap 6 bln
a. Pn : P ( 1 + i )n
P5 : 1.000.000 ( 1 + 0,1 )5
: 1.000.0000 ( 1,61051 )
: 1.610.510
b. Pn : P (1 + i/m )m.n
P5 : 1.000.000 ( 1 + 0,1/2 )5.2
: 1.000.000 (1,05)10
: 1.000.000 (1,628895)
: Rp. 1.628.895
3. Jumlah penduduk
Diketahui penduduk yogya tahun 1998 berjumlah 2.000.000 jiwa
dengan tingkat pertumbuhan 2,5% pertahun. Tentukan
a. jumlah penduduk kota
b. seandainya pada tahun 2010 jumlah
penduduk kota
a. Pn : P0 ( 1 + r )n
P12 : 2.000.000 ( 1 + 0,025 )12
: 2.000.000 ( 1,344889 )
: 2.689.778
b. Pn :
P0 ( 1 + r )n
3.000.000 : 2.000.000 ( 1
+ r )n
( 1 + r )12 : 3.000.000/2.000.000
( 1 + r )12
: 1,5
1 + r : 12 1,5
: 1,03437
r : 0,03437
: 3.437%
Bagus, mengingatkan kembali pemahaman pelajaran di sekolah yang sudah lupa karena sudah lama tidak digunakan.
Terima kasih.