Fungsi Derivatif atau Turunan Matematika

Derivatif (Turunan)

Turunan mengukur tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi yaitu perubahan dependent variable sebagai akibat perubahan dari independent variable yang sangat kecil.

Kaidah :

1.     fungsi konstan

Y = k maka dy/dx = 0

2.     fungsi linear

Y = a + bx maka dy/dx = b

3.     fungsi pangkat

Y = ax^p maka dy/dx = p.ax ^{p – 1}

Y = x^p maka dy/dx = p.x ^{p – 1}

Penerapan dalam ekonomi

1.     konsep marginal

biaya marginal (marginal cost) adalah perubahan dalam biaya total sebagai akibat bertambahnya 1 unit produksi. Pendapatan marinal (marginal revenue) adalah perubahan dalam pendapatan total (total revenue) sebagai akibat bertambahnya 1 unit penjualan

2.     maximasi dan minimasi suatu fungsi

terdapat 2 syarat untuk memperoleh nilai max relative dari suatu fungsi yaitu

turunan  I = 0

turunan II < 0

sedangkan untuk memperoleh nilai min relative, syaratnya

turunan  I = 0

turunan II > 0

contoh

diketahui fungsi permintaan f(D) = P = 80 – 4Q, hitunglah
a. marginal revenue (MR)

b. R max

jawab

R= P x Q

   = (80 – 4Q) x Q

   = 80Q – 4Q²

a.     MR = R’

       = 80 – 8Q

b.     R maks, pada saat MR = 0

80 – 8Q = 0

Q = 10

R max = 80 (10) – 4 (10)²

           = 800 – 400

           = 400

c.      AR  = R/Q

        = 80Q – 4Q² / Q

        = 80 – 4Q

        =80 – 4(10)

        = 80 – 40

        = 40

Diketahui fungsi biaya total C = Q³ – 7Q² + 23Q, hitunglah

a.     marginal cost (MC)

b.     biaya rata-rata (AC)

c.      biaya rata-rata minimum

a.     MC = C’

        = 3Q² – 14Q + 23

b.     AC = C/Q

      = Q³ – 7Q² + 23Q / Q

      = Q² – 7Q + 23

AC minimum = AC’ = 0

2Q – 7 = 0

        Q = 3,5

c.      AC = (3,5)² – 7(3,5) + 23

       = 12,25 – 24,5 + 23

       = 10,75

Pada saat AC minimum, MC = AC

MC = 3(3,5)² – 14(3,5) + 23

       = 36,75 – 49 + 23

       = 10,75

Keuntungan maksimum

Diketahui R = 2Q³ + Q² + 5Q, C = 25Q² – 67Q + 5, hitunglah

a.     unit produksi agar laba maks

b.     berapa laba maks

jawab

a.     п = R – C

(2Q³ + Q² + 5Q) – (25Q² – 67Q + 5)

2Q³ – 24Q² + 72Q – 5

П maks = п’ = 0

6Q² – 48Q + 72 = 0

Q² – 8Q + 12 = 0

(Q – 2) (Q – 6) = 0    Q1 = 2, Q2 = 6

Jika п “ > 0 maka rugi maks

       П” < 0 maka laba maks

П” = 12Q – 48

Q1 = 2        12(2) – 48 = -24 п” < 0 (laba maks)

Q2 = 6        12(6) – 48 = 24 п” > 0 (rugi maks)

b.     laba maks = 2Q³ – 24Q² + 72Q – 5

       = 2(2³) – 24(2²) + 72(2) – 5

       = 16 – 96 + 144 – 5

       = 59

Elastisitas

Untuk mengukur kepekaan (sensitivitas) perubahan independent variable terhadap dependent variable digunakan angka elastisitas

1.     elastisitas permintaan (Ed)

a.     permintaan elastis jika η < -1 atau η > 1

b.     permintaan elastis sempurna jika η = -ζ

c.      permintaan elastis uniter η = 1 atau η = -1

d.     permintaan inelastic jika -1 < η < 1

e.      permintaan inelastic esmpurna jika η = 0

Ed = dQ/dP x P/Q, dimana dQ/dP adalah turunan pertama Qd

Contoh

Diketahui f(D) Q = 250 – 5P

Jika P = 10 maka elastisitas harga permintaan (Ed) dapat dicari

Q = 250 – 5P            Q = 250 – 5(10)

P = 10                           = 250 – 50

                                      = 200 unit

dQ / dP = Q’ (P) = -5

Ed = dQ / dP x P/Q = -5 x 10/200 = -0,25

Artinya jika P naik 1% maka Q turun 0,25% atau jika P turun 1% maka Q akan naik 0,25%

2.     elastisitas penawaran (Es)

Es = dQ/dP x P/Q

Contoh

Diketahui f(S) Q = 250 + 5P

Jika P = 10 maka Es

Q = 250 + 5P       Q = 250 + 5(10)

P = 10                      = 250 + 50 = 300 unit

dQ/dP = Q’(P) = 5

Es = dQ/dP x P/Q  = 5 x 10/300 = 0,16

Jika P naik 1% maka Q naik 0,16% atau jika P turun 1% maka Q akan turun 0,16%

Pajak maksimum

Diketahui fungsi permintaan (Qd) P = -1/2Q + 40, fungsi penawaran (Qs) = 1/2Q + 10, berapa pajak maks yang diterima pemerintah bila pajaknya Rp t perunit.

Jawab

a.     keseimbangan sebelum pajak

  Qd = Qs

-1/2Q + 40 = ½ Q + 10

              -Q = -30

                Q = 30

P = 1/2Q + 10

   = ½ (30) + 10 = 25

b.     keseimbangan setelah pajak

-1/2Q + 40 = 1/2Q + 10 + t

               t  = (-1/2Q + 40) – (1/2Q +10)

                  = -Q + 30

Pajak total (T) = t x Q

                        = (-Q + 30) x Q

                       = -Q² + 30 Q

Pajak maks atau min jika T’ = 0

                             -2Q + 30 = 0

                                      Q  = 15

T ” = -2, maks pada Q = 15

Maka P = -1/2 (15) + 40

              = -7,5 + 40

              = 32,5

Jadi keseimbangan setelah pajak (15, 32,5)

Besarnya pajak / unit  t = -Q + 30

                                      = -(15) + 30

                                      = 15

Total pajak maks (T)    = -Q² + 30Q

                                      = -(15²) + 30 (15)

                                      = -225 + 450

                                      = 225

Atau t x Qt = 15 x 15

                   = 225

Pengertian Fungsi Linear Dan Contoh Fungsi Linear

Pengertian Fungsi Linear Dan Contoh Fungsi Linear

Fungsi : hubungan antara satu variable dengan variable lain yang masing-masing variable tersebut saling mempengaruhi.

Variable / peubah : suatu besaran yang didalam suatu permasalahan nilainya dapat berubah-ubah.

Variable bebas ( independent variable ) : peubah yang nilainya tidak tergantung pada peubah lain dan nilai peubah ini akan menentukan nilai fungsi yang bersangkutan.

Variable tergantung ( dependent variable ) : peubah yang nilainya tergantung pada peubah yang lainnya.

·        Fungsi Linear

Merupakan fungsi yang pangkat tertinggi dari variable bebasnya adalah 1.

Bentuk umumnya adalah :

y = ax + b

Dimana       a = koefisien arah

                   b = konstanta yang merupakan titik potong pada sumbu y

                   x = variable bebas

                   y = variable tergantung

·        Penggambaran Fungsi Linear

1.     cara daftar

digunakan untuk melihat perubahan nilai angka dari peubah bebas dab peubah tergantungnya. Contoh :

y = 2x + 10

X	0	1	2	3	4	5	6	7
Y	10	12	14	16	18	20	22	24

       

2.     cara matematis

Dengan cara mencari ciri matematis dari persamaan yang bersangkutan.

Y = 2x + 10

Titik potong sumbu y apabila x = 0 maka y = 2 (0) + 10

                                                                           = 10

Sehingga titik potong pada sumbu y = ( 0,10 )

Titik potong sumbu x apabila y = 0 maka 0 = 2x + 10

                                                           - 2x = 10

                                                                   x = - 5 

sehinnga titik potong pada sumbu x = ( -5,0 )

·        Mencari fungsi linear

a.     metode dua titik (dwi koordinat )

merupakan metode pembentukan persamaan linear ( garis lurus ) dari dua buah titik yang diketahui

( Y – Y1)     =  ( X – X1 )

(Y 2 – Y1)       (X2 – X1)

Contoh buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik A (4,2) dan B (2,6)

Titik A (4,2)     X1 = 4   Y1 = 2

Titik B (2,6)     X2 = 2    Y2 = 6

(Y - 2)  =  (X - 4)

(6 -  2)     ( 2 – 4)          

(Y – 2) = (X – 4)    

    (4)           (-2)

-2y + 4 = 4x – 16

      -2y = 4x – 20

         y = -2x + 10

 

                                                                                                

                                    

b.     metode titik potong sumbu

digunakan untuk kasus tertentu, yaitu jika suatu titik A (x1,y1) merupakan titik potong sumbu Y, misalnya pada titik (0,b) dan titik B (x2,y2) merupakan titik potong sumbu x misalnya pada (a,0) maka persamaan garisnya dapat dibentuk sbb:

y / b – 1 = -x / a  

y / b + x / a = 1

contoh :

apabila diketahui suatu garis dengan titik potong sumbu y adalah (0,6) dan titik potong sumbu x adalah (4,0), carilah persamaan garisnya

y / b – 1 = x / a

y / b + x / a = 1

y / 6 + x / 4 = 1                x 12

12y / 6 + 12x / 4 = 12

2y + 3x = 12

2y = -3x + 12

y = -3/2 x + 6

c.      metode kemiringan garis dan titik

apabila diketahui suatu titik A (x1,y1) dan dilalui oleh suatu garis lurus yang memiliki kemiringan m, maka persamaannya adalah :

y – y1 = m (x – x1) persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan kemiringan sebesar m. contoh

carilah persamaan garis yang melalui suatu titik (4,2) dan kemiringan -3

y – y1 = m(x – x1)

y – 2   = -3(x – 4 )

           = -3x + 12

       y  = -3x + 14

d.     metode kemiringan garis dan titik potong sumbu

apabila diketahui suatu titik yang berkoordinat (0,b) merupakan titik potong dengan sumbu y sebuah garis lurus yang memiliki kemiringan garis m, maka persamaan garis tersbut adalah y = mx + b, merupakan persamaan garis yang melalui titik potong sumbu y dengan kemiringan m, contoh :

apabila suatu garis memiliki titik potong dengan sumbu y pada (0,-4) dan kemiringannya 5 maka bagaimana persamaan garisnya :

y = mx + b

y = 5x – 4

Pengertian Deret Hitung Dan Deret Ukur Beserta Contohnya

DERET

Yaitu rangkaian bilangan yang disusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu.

Suku adalah bilangan pembentuk deret

Dilihat dari segi perubahan pola bilangan, deret dibedakan :

1.     Deret hitung

2.     Deret ukur

v Deret Hitung

Yaitu deret yang perubahan sukunya berdasar penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku disebut pembeda.

Contoh : 1,5,9,13

Suku ke-n

Sn : a + ( n – 1 ) b

a : suku pertama

b : pembeda

n : indeks suku

contoh

4,10,16,22,28

Tentukan nilai suku ke 15 dan 30

S₁₅ : 4 + ( 15 – 1 ) 6                          S₃₀ : 4 + ( 30 – 1 ) 6

      : 4 + 84                                            : 4 + 174

      : 88                                                   : 178

Jumlah n suku

Rumus : n                                         Jn : n { 2a + ( n – 1 ) b }

              Σ Si                                           2

              i=1

                        

Jn : n { ( a + Sn )                               Jn : n.a  + n { n – 1 ) b

      2                                                                  2

             

Dari contoh di atas tentukan jumlah J₁₅ dan J₃₀

J₁₅ : 15/2 ( 4 + 88 )                                      J₃₀ : 30/2 ( 4 + 178)

     : 7,5. (92)                                          : 15 (182)

     : 690                                                  : 2730

 Atau

J₁₅ : 15.4 + 15/2 ( 15 – 1 ) 6              J₃₀ : 30.4 + 30/2 ( 30 – 1 ) 6

    : 60 + 7,5 ( 84 )                                            : 120 + 15 ( 174 )

    : 690                                                   : 2730

  

v Deret Ukur

Yaitu deret yang perubahan sukunya berdasar perkalian bilangan tertentu

Bilangan yang membedakan suku-sukunya disebut pengganda

Contoh : 2,4,8,16,32

Suku ke-n

Sn : a.p ^{n – 1}

Dimana a : suku pertama

             p : pengganda

             n : indeks suku

contoh

2,4,8,16,32

Tentukan suku ke 10 dan ke 15

S₁₀ : 2.2^{10 – 1}                                                 S₁₅  :  2.2^{15 – 1}

      : 2.512                                                        : 2.16384

      : 1024                                                         : 32768

Jumlah n suku

Rumus :

Jn : a ( 1 – Pⁿ )             Jika P < 1                     

           1 – P

Jn : a ( Pⁿ – 1 )              Jika P > 1

             P – 1

Contoh :

Dari contoh diatas tentukan jumlah suku ke 10 dan 15

J₁₀ :  2 ( 2¹⁰ – 1 )                       J₁₅  :  2 ( 2¹⁵ – 1 )

             2 – 1                                             2 – 1

     : 2 (1024 – 1 )                             :  2 ( 32768 – 1 ) 

1                                                                                                                     1

     : 2046                                      : 65534

768, 384, 192, 96, 48, 24, 12

Tentukan jumlah suku ke 10

J₁₀ : 768 ( 1 – 1/2¹⁰  )

                 1 – ½

     : 768 (0,999)

               ½

     : 1534,5

Suku ke 3 suatu deret ukur adalah 800, suku ke 7 adalah 204800. carilah besarnya nilai a dan p

S₃    : a. p ^{3 – 1}                                      S₇   : a.p ^{7 – 1}

800 : a.p²                                     204800 : a.p⁶

  a   : 800                                              a  : 204800

           p²                                                                              p⁶

                               a   : 800       :               204800

                                         p²                                               p⁶

                                         800 p⁶     :     204800 p²

                                           P⁶        :     204800

                                           P²                 800

                                           P ^{6 – 2}     :      256

                           

                                              P^{4       :}       4⁴

                                              P      :     4

800 : a.p²

a     : 800/16

  

       : 50

Penerapan dalam ekonomi

1. Sebuah  penerbitan majalah berita, pada tahun ke 5 memproduksi 30.000 eksemplar, namun produksinya secara konstan terus menurun sehingga pada tahun ke 15 hanya memproduksi 10.000 eksemplar. Dari informasi tsb. Tentukan : a.   berapa penurunan produksi majalah pertahun

                             b. berapa eksemplar majalah yang diterbitkan selama  

                                   operasi perusahaan

a. Sn : a + ( n – 1 )b

    S₅ : a + 4b                                    S₁₅ : a + 14b

         : 30.000                                         : 10.000

   a + 4b      : 30.000

   a + 14b    : 10.000 -

      - 10 b   :  20.000

              b  :  -  2.000

   a + 4b     : 30.000                           a + 4(-2000) : 30.000

                                                          a – 8000       : 30.000

                                                                       a     : 38.000

b.  Jn : n.a  + n { n – 1 ) b

                      2        

     J₁₅ : 15 (38.000) + 15/2 (14) . (-2000)

          : 570.000 + 7,5 (-28.000)

          : 570.000 – 210.000

          : 360.000

2. Bunga Majemuk

Dengan bunga majemuk ini, tingkat bunga yang harus dibayar selain dikenakan pada pokok pinjaman juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan pada periode yang bersangkutan.

Rumus :

P_n : P ( 1 + i )ⁿ

Dimana :

P_n : nilai uang dimasa yang akan datang pada tahun ke n

P  : nilai uang sekarang

i   : tingkat bunga per tahun

n  : jumlah tahun yang diperhitungkan

(1 + i) : faktor bunga majemuk

Contoh

Apabila anda memiliki uang sebesar Rp. 1.000.0000 dibungakan di bank selama 5 tahun, dengan tingkat bunga sebesar 10% per tahun. Tentukan

a.     nilai uang pada akhir tahun ke 5

b.     nilai uang pada akhir tahun ke 5 apabila bunga dibayarkan setiap 6 bln

a. P_n : P ( 1 + i )ⁿ

    P₅ : 1.000.000 ( 1 + 0,1 )⁵       

        : 1.000.0000 ( 1,61051 )

        : 1.610.510

b. P_n : P (1 + i/m )^m.n

    P₅ : 1.000.000 ( 1 + 0,1/2 )^5.2

         : 1.000.000 (1,05)¹⁰

         : 1.000.000 (1,628895)

         : Rp. 1.628.895

3. Jumlah penduduk

Diketahui penduduk  yogya tahun 1998 berjumlah 2.000.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan 2,5% pertahun. Tentukan

a.     jumlah penduduk kota yogya pada tahun 2010

b.     seandainya pada tahun 2010 jumlah penduduk kota yogya mencapai 3.000.000 jiwa, berapakah tingkat pertumbuhannya.

a.     P_n  : P₀ ( 1 + r )ⁿ

P₁₂  : 2.000.000 ( 1 + 0,025 )¹²

      : 2.000.000 ( 1,344889 )

      : 2.689.778

b.     P_n   : P₀ ( 1 + r )ⁿ

3.000.000 : 2.000.000 ( 1 + r )ⁿ

( 1 + r )¹²  : 3.000.000/2.000.000

( 1 + r )¹²  : 1,5

  1 + r        : ¹²    1,5                                          

                           : 1,03437

                      r   : 0,03437

                          : 3.437%