Pengertian Permutasi Dan Kombinasi | Gudang artikel

Pengertian Permutasi Dan Kombinasi

Senin, 28 Maret 2016
Bab III
Permutasi dan Kombinasi

Permutasi
Permutasi atau perubahan urutan sejumlah obyek adalah penyusunan sejumlah obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu. Permutasi dapat digunakan untuk melihat perubahan susunan yang terjadi dalam suatu organisasi, manajemen, maupun proses produksi.
Kaidah-kaidah permutasi
a.     kaidah perkalian (penggandaan)
Apabila suatu pemilihan dapat dilaksanakan dalam n1 cara dan sesudah dilaksanakan dengan salah satu cara tersebut, pemilihan kedua dapat dilaksanakan dengan n2 cara dan pemilihan ke k dengan nk cara, maka pemilihan keseluruhan dapat dilaksanakan dengan n1 x n2 x .... x nk macam cara yang berbeda.
Contoh :
Dalam liga champion eropa ada 5 juara grup yaitu Juventus, Liverpool, Ajax Amsterdam, Bayern Muenchen, Barcelona. Apabila akan dicari juara 1,2,3 berapa macam urutan yang dapat terjadi.
Juara pertama 5 macam cara (n1: 5)
Juara kedua 4 macam cara (n2 : 4)
Juara ketiga 3 macam cara (n3 : 3)
Sehingga total urutan yang dapat terjadi : 5 x 4 x 3 : 60 cara
Contoh
Kantor polisi Yogyakarta akan membuat plat nomor kendaraan bermotor yang susunannya menggunakan awalan huruf AB dan diikuti dengan 4 bilangan angka dan diikuti dengan dua huruf dibelakang bilangan angka. Berapa jumlah plat nomor bisa dibuat.
Dalam plat nomor ada 6 kolom yang bisa diisi
Kolom pertama abjad A (n1 : 1)
Kolom kedua abjad B (n2 : 1)
Kolom ketiga dapat diisi angka 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (n3 : 9)
Kolom keempat dapat diisi angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (n4 : 10)
Kolom kelima dapat diisi angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (n5 : 10)
Kolom keenam dapat diisi angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (n6 : 10)
Kolom ketujuh dapat diisi huruf A – Z (n7 : 26)
Kolom kedelapan dapat diisi huruf A – Z (n8 : 26)
Sehingga urutan plat nomor yang bisa dibuat:
1 x 1 x 9 x 10 x 10 x 10  x 26 x 26 : 6.084.000
b.    kaidah penjumlahan
Apabila pemilihan dari sejumlah obyek dapat dilaksanakan dalam n1 macam cara dan sesudah dilaksanakan dengan satu macam cara tersebut pemilihan kedua dapat dilaksanakan dengan n2 macam cara dan pemilihan ke k dapat dilaksanakan dengan nk macam cara, maka pemilihan pertama atau pemilihan kedua atau pemilihan ke k yang tidak dapat dilakukan secara bersama dapat dilakukan dengan n1 + n2 + .... + nk macam cara berbeda.
Contoh
Kantin UAD mempunyai 5 menu makanan dan 5 menu minuman, bila seorang mahasiswa hanya memesan 1 menu makanan atau 1 menu minuman ada berapa variasi menu yang bisa dihidangkan
Menu makanan : 5 macam cara
Menu minuman : 5 macam cara
Variasi makanan atau minuman yang dipesan 5 + 5 : 10 macam variasi.


Permutasi dari n obyek yang berbeda tanpa pengembalian obyek yang telah terpilih
Permutasi dari seluruh obyek ( permutasi dari n obyek seluruhnya)
          Jumlah permutasi dari kelompok yang terdiri dari n obyek yang berbeda secara keseluruhan adalah sebanyak n!. Dikatakan sebagai:
nPn: n! (permutasi dari n obyek yang diambil sejumlah n obyek.
n!: n(n-1)!
Contoh
Jika kita akan memasang 4 tiang bendera yang berbeda warnanya berjejer ditempat yang telah disediakan. Berapa macam cara yang mungkin terjadi dari urutan pemasangan ke empat tiang bendera tersebut.
4P4 : 4!
     : 4(4-1)! : 4 x 3 x 2 x 1
     : 24 cara
Contoh
Jika ada 5 kandidat yang bisa dipilih menjadi juara lomba menyanyi, dari juara 1 hingga juara harapan, berapa alternatif urutan yang bisa terjadi
5P5 : 5!
     : 5 x 4 x 3 x 2 x 1 : 120 cara
Permutasi sebagian dari seluruh obyek (permutasi sebanyak r dari n obyek)
          Jumlah permutasi dari suatu kelompok sebanyak n obyek yang berbeda yang diambil sekaligus sebanyak r obyek adalah sebanyak permutasi dari seluruh obyek yaitu sebanyak n! Dibagi dengan jumlah permutasi dari banyaknya obyek yang tidak dipilih (n-r)!, dan dinyatakan sebagai nPr : n!/(n-r)! (permutasi dari r obyek yang diambil dari n obyek).

Contoh
Pada suatu kelas akan dipilih 3 pengurus yang terdiri dari ketua, sekretaris, bendahara. Untuk 3 posisi tadi terdapat 6 calon. Berapakah alternatif pemilihan.
6P3 : 6!/(6-3)! :6!/3! : 6x5x4x3x2x1 / 3x2x1
                               : 720/6 : 120 cara
Permutasi  dari n obyek yang berbeda dengan pengembalian obyek yang telah terpilih
Jumlah permutasi dari suatu kelompok yang terdiri dari n obyek dan diambil sekaligus sebanyak r obyek dengan pengembalian obyek yang telah terpilih adalah:
nRr nr, dimana r < n dan merupakan bilangan bulat positif
nRr (Permutasi r obyek yang diambil dari n obyek dengan pengembalian obyek yang telah terpilih.)
Contoh
Berapakah macam cara urutan mata dadu akan keluar apabila sebuah dadu dilempar sebanyak 3 kali.
Permutasinya adalah:
nRr : 6R3 : 63 : 6 x 6 x 6 : 216 cara
Contoh
Berapakah macam cara urutan kartu remi akan keluar apabila satu kartu akan diambil 3 kali
nRr : 52R3 : 523 : 52 x 52 x 52 : 140.608 cara
contoh
Apabila kita ingin membuat tulisan untuk 3 buah papan reklame suatu perusahaan dalam rangka memasarkan produknya dengan menggunakan 4 macam warna yang berbeda yaitu : hitam, biru, hijau, dan merah. Berapakah permutasi yang terjadi apabila warna yang ada dapat dipakai disemua papan
nRr : 4R3 : 43 : 4 x 4 x 4 : 64 cara
Permutasi dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan
Apabila terdapat kelompok benda yang terdiri dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan, misalnya n1 merupakan kumpulan obyek yang sama, n2 merupakan kumpulan obyek lain yang sama, hingga nk merupakan kumpulan obyek k yang sama, sedangkan n1 + n2 + ... + nk : n, permutasinya :
 n            : n!/ n1! x n2! ...x nk!
      n1,n2...nk          
contoh
Dalam berapa cara kata akuntansi dapat dipermutasikan
Jawab
Kata akuntansi terdiri dari 9 huruf yaitu a : 2 huruf, k : 1 huruf, u : 1 huruf,
n : 2 huruf, t : 1 huruf, s : 1 huruf, i : 1 huruf. Maka permutasi dari sembilan huruf tersebut adalah :
         9             : 9! / 2! x 1! x 1! x 2! x 1! x 1! x 1!
  2,1,1,2,1,1,1  : 362.880 / 4 : 90.720
Contoh
Dalam sebuah kaleng terdapat 7 buah kelereng yang terdiri dari 3 buah kelereng merah, 2 buah kelereng hijau, dan 2 buah kelereng biru. Berapakah permutasi dari kumpulan kelereng tersebut:
          7          : 7! / 3! x 2! x 2!
       3,2,2       : 5.040 / 24 : 210 cara





Kombinasi
Kombinasi dari sejumlah obyek merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan tanpa memperhatikan susunan atau urutan dari obyek tersebut. Jadi dalam kombinasi yang dipentingkan adalah unsur, bukan urutan dari obyek seperti dalam permutasi. Kombinasi dari seluruh obyek yang ada dalam suatu kelompok (himpunan) dinyatakan sebagai
     n           n   
C    :                 : 1
   n           n

Apabila dari seluruh obyek yang ada dikombinasikan sebagian saja ( sebanyak r obyek) sekaligus maka, jumlah kombinasinya dinyatakan sebagai berikut :
     n           n   
C    :                 : n! / r! (n-r)!   Dimana 0 < r < n
   r            r

   n            
C    : kombinasi dari n obyek yang dikombinasikan sebanyak r obyek               
   r

contoh
Apabila kita ingin mengecat tembok rumah dengan 4 macam pilihan warna yaitu: merah, biru, hijau dan kuning. Berapakah kombinasi warna yang dapat dipilih jika kita menggunakan 2 macam warna untuk mengecat tembok tersebut:
Jawab
Kombinasi warna yang dapat dipilih dari 4 macam warna adalah:
   4            4  
C    :                 : 4! / 2! (4-2)!  : 4 x 3 x 2 x 1 / 2x1x2x1 : 24/4 : 6 cara
   2            2
Contoh
Dalam suatu pemilihan direksi perusahaan terdapat 6 calon pria dan 4 calon wanita yang dapat dipilih. Apabila calon direksi tersebut akan dipilih sebanyak 5 orang direksi yang paling sedikit beranggotakan 3 orang pria, berapakah cara anggota direksi tersebut dapat dipilih
Jawab
1.     apabila anggota direksi terdiri dari 3 pria dan 2 wanita
a.     pemilihan 3 pria dari 6 calon pria
      6
               6! / 3! (6-3)! : 6! / 3!.3!  : 720 / 36 : 20 cara
      3
b.     pemilihan 2 wanita dari 4 calon wanita
 4
          4! / 2! (4-2)! : 4! / 2!.2! : 24 / 4 : 6 cara
 2
      Untuk alternatif pertama dapat dilakukan 20 x 6 : 120 cara

2.     apabila anggota direksi terdiri dari 4 pria dan 1 wanita
a.     pemilihan 4 pria dari 6 calon pria
 6
          6! / 4! (6-4)! : 6! / 4!.2! : 720 / 48 : 15 cara
 4

b.     pemilihan 1 wanita dari 4 calon wanita
 4
          4! / 1! (4-1)! : 4! / 1!.3! : 24 / 6 : 4 cara
 1
        Untuk alternatif kedua dapat dilakukan 15 x 4 : 60 cara

3.     apabila anggota direksi terdiri dari 5 pria
         6
                 6! / 5! (6-5)! : 6! / 5!.1! : 720 / 120 : 6 macam cara
         5


Dari perhitungan diatas maka pemilihan 5 direksi dengan anggota paling sedikit 3 pria adalah : 120 + 60 + 6 : 186 cara

0 komentar:

Posting Komentar