Pengertian Deret Hitung Dan Deret Ukur Beserta Contohnya

DERET

Yaitu rangkaian bilangan yang disusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu.

Suku adalah bilangan pembentuk deret

Dilihat dari segi perubahan pola bilangan, deret dibedakan :

1.     Deret hitung

2.     Deret ukur

v Deret Hitung

Yaitu deret yang perubahan sukunya berdasar penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku disebut pembeda.

Contoh : 1,5,9,13

Suku ke-n

Sn : a + ( n – 1 ) b

a : suku pertama

b : pembeda

n : indeks suku

contoh

4,10,16,22,28

Tentukan nilai suku ke 15 dan 30

S₁₅ : 4 + ( 15 – 1 ) 6                          S₃₀ : 4 + ( 30 – 1 ) 6

      : 4 + 84                                            : 4 + 174

      : 88                                                   : 178

Jumlah n suku

Rumus : n                                         Jn : n { 2a + ( n – 1 ) b }

              Σ Si                                           2

              i=1

                        

Jn : n { ( a + Sn )                               Jn : n.a  + n { n – 1 ) b

      2                                                                  2

             

Dari contoh di atas tentukan jumlah J₁₅ dan J₃₀

J₁₅ : 15/2 ( 4 + 88 )                                      J₃₀ : 30/2 ( 4 + 178)

     : 7,5. (92)                                          : 15 (182)

     : 690                                                  : 2730

 Atau

J₁₅ : 15.4 + 15/2 ( 15 – 1 ) 6              J₃₀ : 30.4 + 30/2 ( 30 – 1 ) 6

    : 60 + 7,5 ( 84 )                                            : 120 + 15 ( 174 )

    : 690                                                   : 2730

  

v Deret Ukur

Yaitu deret yang perubahan sukunya berdasar perkalian bilangan tertentu

Bilangan yang membedakan suku-sukunya disebut pengganda

Contoh : 2,4,8,16,32

Suku ke-n

Sn : a.p ^{n – 1}

Dimana a : suku pertama

             p : pengganda

             n : indeks suku

contoh

2,4,8,16,32

Tentukan suku ke 10 dan ke 15

S₁₀ : 2.2^{10 – 1}                                                 S₁₅  :  2.2^{15 – 1}

      : 2.512                                                        : 2.16384

      : 1024                                                         : 32768

Jumlah n suku

Rumus :

Jn : a ( 1 – Pⁿ )             Jika P < 1                     

           1 – P

Jn : a ( Pⁿ – 1 )              Jika P > 1

             P – 1

Contoh :

Dari contoh diatas tentukan jumlah suku ke 10 dan 15

J₁₀ :  2 ( 2¹⁰ – 1 )                       J₁₅  :  2 ( 2¹⁵ – 1 )

             2 – 1                                             2 – 1

     : 2 (1024 – 1 )                             :  2 ( 32768 – 1 ) 

1                                                                                                                     1

     : 2046                                      : 65534

768, 384, 192, 96, 48, 24, 12

Tentukan jumlah suku ke 10

J₁₀ : 768 ( 1 – 1/2¹⁰  )

                 1 – ½

     : 768 (0,999)

               ½

     : 1534,5

Suku ke 3 suatu deret ukur adalah 800, suku ke 7 adalah 204800. carilah besarnya nilai a dan p

S₃    : a. p ^{3 – 1}                                      S₇   : a.p ^{7 – 1}

800 : a.p²                                     204800 : a.p⁶

  a   : 800                                              a  : 204800

           p²                                                                              p⁶

                               a   : 800       :               204800

                                         p²                                               p⁶

                                         800 p⁶     :     204800 p²

                                           P⁶        :     204800

                                           P²                 800

                                           P ^{6 – 2}     :      256

                           

                                              P^{4       :}       4⁴

                                              P      :     4

800 : a.p²

a     : 800/16

  

       : 50

Penerapan dalam ekonomi

1. Sebuah  penerbitan majalah berita, pada tahun ke 5 memproduksi 30.000 eksemplar, namun produksinya secara konstan terus menurun sehingga pada tahun ke 15 hanya memproduksi 10.000 eksemplar. Dari informasi tsb. Tentukan : a.   berapa penurunan produksi majalah pertahun

                             b. berapa eksemplar majalah yang diterbitkan selama  

                                   operasi perusahaan

a. Sn : a + ( n – 1 )b

    S₅ : a + 4b                                    S₁₅ : a + 14b

         : 30.000                                         : 10.000

   a + 4b      : 30.000

   a + 14b    : 10.000 -

      - 10 b   :  20.000

              b  :  -  2.000

   a + 4b     : 30.000                           a + 4(-2000) : 30.000

                                                          a – 8000       : 30.000

                                                                       a     : 38.000

b.  Jn : n.a  + n { n – 1 ) b

                      2        

     J₁₅ : 15 (38.000) + 15/2 (14) . (-2000)

          : 570.000 + 7,5 (-28.000)

          : 570.000 – 210.000

          : 360.000

2. Bunga Majemuk

Dengan bunga majemuk ini, tingkat bunga yang harus dibayar selain dikenakan pada pokok pinjaman juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan pada periode yang bersangkutan.

Rumus :

P_n : P ( 1 + i )ⁿ

Dimana :

P_n : nilai uang dimasa yang akan datang pada tahun ke n

P  : nilai uang sekarang

i   : tingkat bunga per tahun

n  : jumlah tahun yang diperhitungkan

(1 + i) : faktor bunga majemuk

Contoh

Apabila anda memiliki uang sebesar Rp. 1.000.0000 dibungakan di bank selama 5 tahun, dengan tingkat bunga sebesar 10% per tahun. Tentukan

a.     nilai uang pada akhir tahun ke 5

b.     nilai uang pada akhir tahun ke 5 apabila bunga dibayarkan setiap 6 bln

a. P_n : P ( 1 + i )ⁿ

    P₅ : 1.000.000 ( 1 + 0,1 )⁵       

        : 1.000.0000 ( 1,61051 )

        : 1.610.510

b. P_n : P (1 + i/m )^m.n

    P₅ : 1.000.000 ( 1 + 0,1/2 )^5.2

         : 1.000.000 (1,05)¹⁰

         : 1.000.000 (1,628895)

         : Rp. 1.628.895

3. Jumlah penduduk

Diketahui penduduk  yogya tahun 1998 berjumlah 2.000.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan 2,5% pertahun. Tentukan

a.     jumlah penduduk kota yogya pada tahun 2010

b.     seandainya pada tahun 2010 jumlah penduduk kota yogya mencapai 3.000.000 jiwa, berapakah tingkat pertumbuhannya.

a.     P_n  : P₀ ( 1 + r )ⁿ

P₁₂  : 2.000.000 ( 1 + 0,025 )¹²

      : 2.000.000 ( 1,344889 )

      : 2.689.778

b.     P_n   : P₀ ( 1 + r )ⁿ

3.000.000 : 2.000.000 ( 1 + r )ⁿ

( 1 + r )¹²  : 3.000.000/2.000.000

( 1 + r )¹²  : 1,5

  1 + r        : ¹²    1,5                                          

                           : 1,03437

                      r   : 0,03437

                          : 3.437%

                                    

Pengertian Permutasi Dan Kombinasi

Bab III

Permutasi dan Kombinasi

Permutasi

Permutasi atau perubahan urutan sejumlah obyek adalah penyusunan sejumlah obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu. Permutasi dapat digunakan untuk melihat perubahan susunan yang terjadi dalam suatu organisasi, manajemen, maupun proses produksi.

Kaidah-kaidah permutasi

a.     kaidah perkalian (penggandaan)

Apabila suatu pemilihan dapat dilaksanakan dalam n₁ cara dan sesudah dilaksanakan dengan salah satu cara tersebut, pemilihan kedua dapat dilaksanakan dengan n₂ cara dan pemilihan ke k dengan n_k cara, maka pemilihan keseluruhan dapat dilaksanakan dengan n₁ x n₂ x .... x n_k macam cara yang berbeda.

Contoh :

Dalam liga champion eropa ada 5 juara grup yaitu Juventus, Liverpool, Ajax Amsterdam, Bayern Muenchen, Barcelona. Apabila akan dicari juara 1,2,3 berapa macam urutan yang dapat terjadi.

Juara pertama 5 macam cara (n₁: 5)

Juara kedua 4 macam cara (n₂ : 4)

Juara ketiga 3 macam cara (n₃ : 3)

Sehingga total urutan yang dapat terjadi : 5 x 4 x 3 : 60 cara

Contoh

Kantor polisi Yogyakarta akan membuat plat nomor kendaraan bermotor yang susunannya menggunakan awalan huruf AB dan diikuti dengan 4 bilangan angka dan diikuti dengan dua huruf dibelakang bilangan angka. Berapa jumlah plat nomor bisa dibuat.

Dalam plat nomor ada 6 kolom yang bisa diisi

Kolom pertama abjad A (n₁ : 1)

Kolom kedua abjad B (n₂ : 1)

Kolom ketiga dapat diisi angka 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (n₃ : 9)

Kolom keempat dapat diisi angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (n₄ : 10)

Kolom kelima dapat diisi angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (n₅ : 10)

Kolom keenam dapat diisi angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (n₆ : 10)

Kolom ketujuh dapat diisi huruf A – Z (n₇ : 26)

Kolom kedelapan dapat diisi huruf A – Z (n₈ : 26)

Sehingga urutan plat nomor yang bisa dibuat:

1 x 1 x 9 x 10 x 10 x 10  x 26 x 26 : 6.084.000

b.    kaidah penjumlahan

Apabila pemilihan dari sejumlah obyek dapat dilaksanakan dalam n₁ macam cara dan sesudah dilaksanakan dengan satu macam cara tersebut pemilihan kedua dapat dilaksanakan dengan n₂ macam cara dan pemilihan ke k dapat dilaksanakan dengan n_k macam cara, maka pemilihan pertama atau pemilihan kedua atau pemilihan ke k yang tidak dapat dilakukan secara bersama dapat dilakukan dengan n₁ + n₂ + .... + n_k macam cara berbeda.

Contoh

Kantin UAD mempunyai 5 menu makanan dan 5 menu minuman, bila seorang mahasiswa hanya memesan 1 menu makanan atau 1 menu minuman ada berapa variasi menu yang bisa dihidangkan

Menu makanan : 5 macam cara

Menu minuman : 5 macam cara

Variasi makanan atau minuman yang dipesan 5 + 5 : 10 macam variasi.

Permutasi dari n obyek yang berbeda tanpa pengembalian obyek yang telah terpilih

Permutasi dari seluruh obyek ( permutasi dari n obyek seluruhnya)

          Jumlah permutasi dari kelompok yang terdiri dari n obyek yang berbeda secara keseluruhan adalah sebanyak n!. Dikatakan sebagai:

nPn: n! (permutasi dari n obyek yang diambil sejumlah n obyek.

n!: n(n-1)!

Contoh

Jika kita akan memasang 4 tiang bendera yang berbeda warnanya berjejer ditempat yang telah disediakan. Berapa macam cara yang mungkin terjadi dari urutan pemasangan ke empat tiang bendera tersebut.

₄P₄ : 4!

     : 4(4-1)! : 4 x 3 x 2 x 1

     : 24 cara

Contoh

Jika ada 5 kandidat yang bisa dipilih menjadi juara lomba menyanyi, dari juara 1 hingga juara harapan, berapa alternatif urutan yang bisa terjadi

₅P₅ : 5!

     : 5 x 4 x 3 x 2 x 1 : 120 cara

Permutasi sebagian dari seluruh obyek (permutasi sebanyak r dari n obyek)

          Jumlah permutasi dari suatu kelompok sebanyak n obyek yang berbeda yang diambil sekaligus sebanyak r obyek adalah sebanyak permutasi dari seluruh obyek yaitu sebanyak n! Dibagi dengan jumlah permutasi dari banyaknya obyek yang tidak dipilih (n-r)!, dan dinyatakan sebagai nPr : n!/(n-r)! (permutasi dari r obyek yang diambil dari n obyek).

Contoh

Pada suatu kelas akan dipilih 3 pengurus yang terdiri dari ketua, sekretaris, bendahara. Untuk 3 posisi tadi terdapat 6 calon. Berapakah alternatif pemilihan.

₆P₃ : 6!/(6-3)! :6!/3! : 6x5x4x3x2x1 / 3x2x1

                               : 720/6 : 120 cara

Permutasi  dari n obyek yang berbeda dengan pengembalian obyek yang telah terpilih

Jumlah permutasi dari suatu kelompok yang terdiri dari n obyek dan diambil sekaligus sebanyak r obyek dengan pengembalian obyek yang telah terpilih adalah:

_nR_r n^r, dimana r < n dan merupakan bilangan bulat positif

_nR_r (Permutasi r obyek yang diambil dari n obyek dengan pengembalian obyek yang telah terpilih.)

Contoh

Berapakah macam cara urutan mata dadu akan keluar apabila sebuah dadu dilempar sebanyak 3 kali.

Permutasinya adalah:

_nR_r : ₆R₃ : 6³ : 6 x 6 x 6 : 216 cara

Contoh

Berapakah macam cara urutan kartu remi akan keluar apabila satu kartu akan diambil 3 kali

_nR_r : ₅₂R₃ : 52³ : 52 x 52 x 52 : 140.608 cara

contoh

Apabila kita ingin membuat tulisan untuk 3 buah papan reklame suatu perusahaan dalam rangka memasarkan produknya dengan menggunakan 4 macam warna yang berbeda yaitu : hitam, biru, hijau, dan merah. Berapakah permutasi yang terjadi apabila warna yang ada dapat dipakai disemua papan

_nR_r : ₄R₃ : 4³ : 4 x 4 x 4 : 64 cara

Permutasi dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan

Apabila terdapat kelompok benda yang terdiri dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan, misalnya n₁ merupakan kumpulan obyek yang sama, n₂ merupakan kumpulan obyek lain yang sama, hingga n_k merupakan kumpulan obyek k yang sama, sedangkan n₁ + n₂ + ... + n_k : n, permutasinya :

 n            : n!/ n₁! x n₂! ...x n_k!

      n₁,n_2...n_k          

contoh

Dalam berapa cara kata akuntansi dapat dipermutasikan

Jawab

Kata akuntansi terdiri dari 9 huruf yaitu a : 2 huruf, k : 1 huruf, u : 1 huruf,

n : 2 huruf, t : 1 huruf, s : 1 huruf, i : 1 huruf. Maka permutasi dari sembilan huruf tersebut adalah :

         9             : 9! / 2! x 1! x 1! x 2! x 1! x 1! x 1!

  2,1,1,2,1,1,1  : 362.880 / 4 : 90.720

Contoh

Dalam sebuah kaleng terdapat 7 buah kelereng yang terdiri dari 3 buah kelereng merah, 2 buah kelereng hijau, dan 2 buah kelereng biru. Berapakah permutasi dari kumpulan kelereng tersebut:

          7          : 7! / 3! x 2! x 2!

       3,2,2       : 5.040 / 24 : 210 cara

Kombinasi

Kombinasi dari sejumlah obyek merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan tanpa memperhatikan susunan atau urutan dari obyek tersebut. Jadi dalam kombinasi yang dipentingkan adalah unsur, bukan urutan dari obyek seperti dalam permutasi. Kombinasi dari seluruh obyek yang ada dalam suatu kelompok (himpunan) dinyatakan sebagai

     n           n   

C    :                 : 1

   n           n

Apabila dari seluruh obyek yang ada dikombinasikan sebagian saja ( sebanyak r obyek) sekaligus maka, jumlah kombinasinya dinyatakan sebagai berikut :

     n           n   

C    :                 : n! / r! (n-r)!   Dimana 0 < r < n

   r            r

   n            

C    : kombinasi dari n obyek yang dikombinasikan sebanyak r obyek               

   r

contoh

Apabila kita ingin mengecat tembok rumah dengan 4 macam pilihan warna yaitu: merah, biru, hijau dan kuning. Berapakah kombinasi warna yang dapat dipilih jika kita menggunakan 2 macam warna untuk mengecat tembok tersebut:

Jawab

Kombinasi warna yang dapat dipilih dari 4 macam warna adalah:

   4            4  

C    :                 : 4! / 2! (4-2)!  : 4 x 3 x 2 x 1 / 2x1x2x1 : 24/4 : 6 cara

   2            2

Contoh

Dalam suatu pemilihan direksi perusahaan terdapat 6 calon pria dan 4 calon wanita yang dapat dipilih. Apabila calon direksi tersebut akan dipilih sebanyak 5 orang direksi yang paling sedikit beranggotakan 3 orang pria, berapakah cara anggota direksi tersebut dapat dipilih

Jawab

1.     apabila anggota direksi terdiri dari 3 pria dan 2 wanita

a.     pemilihan 3 pria dari 6 calon pria

      6

               6! / 3! (6-3)! : 6! / 3!.3!  : 720 / 36 : 20 cara

      3

b.     pemilihan 2 wanita dari 4 calon wanita

 4

          4! / 2! (4-2)! : 4! / 2!.2! : 24 / 4 : 6 cara

 2

      Untuk alternatif pertama dapat dilakukan 20 x 6 : 120 cara

2.     apabila anggota direksi terdiri dari 4 pria dan 1 wanita

a.     pemilihan 4 pria dari 6 calon pria

 6

          6! / 4! (6-4)! : 6! / 4!.2! : 720 / 48 : 15 cara

 4

b.     pemilihan 1 wanita dari 4 calon wanita

 4

          4! / 1! (4-1)! : 4! / 1!.3! : 24 / 6 : 4 cara

 1

        Untuk alternatif kedua dapat dilakukan 15 x 4 : 60 cara

3.     apabila anggota direksi terdiri dari 5 pria

         6

                 6! / 5! (6-5)! : 6! / 5!.1! : 720 / 120 : 6 macam cara

         5

Dari perhitungan diatas maka pemilihan 5 direksi dengan anggota paling sedikit 3 pria adalah : 120 + 60 + 6 : 186 cara